Question

【題目】如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量和的坐標(biāo)，通過可證明出；

（2）分別求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量，由此利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

（1），，

，

.

，，

因此，無論取何值，；

（2）當(dāng)時(shí)，，，，

而平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，

則，解得，則，

設(shè)為平面與平面所成的銳二面角，則.

因此，平面與平面所成二面角的余弦值是.