Question

14．已知f（x）=x²+2x+1-sin$\frac{a-b}{3}$π
（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求函數(shù)f（x）有零點的概率
（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0，3]中任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個數(shù)，求函數(shù)f（x）有零點的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題等價于sin$\frac{a-b}{3}$π≥0，列舉可得基本事件共有15個，事件A包含6個基本事件，可得概率；
（Ⅱ）作出圖形，由幾何概型的概率公式可得．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+2x+1-sin$\frac{a-b}{3}$π有零點等價于方程x²+2x+1-sin$\frac{a-b}{3}$π=0有實根，
∵x²+2x+1≥0，∴sin$\frac{a-b}{3}$π≥0
記事件A為函數(shù)f（x）=x²+2x+1-sin$\frac{a-b}{3}$π有零點，
總的基本事件共有12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），
（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），
（3，2），事件A包含9個基本事件：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），9個．
∴P（A）=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$
（Ⅱ）如圖，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為（矩形區(qū)域）a是從區(qū)間[0，3]中任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個數(shù)，
函數(shù)表示事件A，所構(gòu)成的區(qū)域為A={（a，b）|sin$\frac{a-b}{3}$π≥0且（a，b）∈Ω}即圖中的陰影部分．
∴P（A）=$1-\frac{\frac{1}{2}×2×2}{2×3}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查古典概型和幾何概型，關(guān)鍵是首先明確概率模型，然后根據(jù)根式解答；屬中檔題．