Question

在直線y=-2取一點Q，過Q作拋物線x²=4y切點分別為A、B，則直線AB恒過的點是（　�。�

A．（0，1）

B．（0，2）

C．（2，0）

D．（1，0）

Answer 1

分析：點A處的切線方程為y=-

1

2

x1x-y1，點B處的切線方程為：y=-

1

2

x2x-y2，點Q（t，-2）的坐標(biāo)都滿足這兩個方程，代入得：-2=-

1

2

x1t-y1，-2=-

1

2

x2t-y2，則說明A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿足方程-2=-

1

2

xt-y，可得過定點．

解答：解：設(shè)Q（t，-2）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），拋物線方程變?yōu)?span id="yu2328z" class="MathJye">y=

1

4

x2，
則y′=

1

2

x，則在點A處的切線方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)，
化簡得：y=-

1

2

x1x-y1，
同理在點B處的切線方程為：
y=-

1

2

x2x-y2，
又因點Q（t，-2）的坐標(biāo)都滿足這兩個方程，代入得：
-2=-

1

2

x1t-y1，-2=-

1

2

x2t-y2，
則說明A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿足方程-2=-

1

2

xt-y，
即直線AB方程為：y-2=-

1

2

tx，因此直線AB恒過的點是（0，2）
故選B

點評：本題為導(dǎo)數(shù)法求切線問題，解出過A、B點的切線方程，把點Q（t，-2）代入方程，可得A、B的坐標(biāo)都滿足的式子即是直線AB的方程，是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．