Question

14．函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象如圖所示
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）已知函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，求x₁•x₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，由五點(diǎn)法作圖求出ω的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍，可得x₁•x₂的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）
的圖象可得2sinφ=1，sinφ=$\frac{1}{2}$，
∴可取φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得ω•$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{6}$=2π，∴ω=2，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）已知函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有
兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]
上有兩個(gè)交點(diǎn)，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得t=2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，故a∈[1，2）．
數(shù)形結(jié)合可得，t₁ ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），t₂ ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
故x₁∈[0，$\frac{π}{6}$），x₂ ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，故 0＜x₁•x₂，≤$\frac{{π}^{2}}{18}$．
再根據(jù)$\frac{1}{2}$（t₁+t₂ ）=$\frac{π}{2}$，即 （2x₁+$\frac{π}{6}$ ）+（2x₂+$\frac{π}{6}$）=π，即 x₁+x₂ =$\frac{π}{3}$＞2$\sqrt{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
∴x₁•x₂，＜$\frac{{π}^{2}}{36}$．
綜上可得，x₁•x₂的取值范圍為（0，$\frac{{π}^{2}}{36}$ ）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出ω的值，由五點(diǎn)法作圖求出ω的值． 方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．