Question

19．已知集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，a∈R，x∈R}，若A∪B=A，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出集合的等價條件，根據(jù)集合的基本運算進行求解即可．

解答 解：A={x|x²+4x=0，x∈R}={0，-4}，
若A∪B=A，則B⊆A，
方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的判別式△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8=8（a+1），
①若B=∅，即△=8（a+1）＜0．即a＜-1，滿足條件．B⊆A．
②若B={0}或{-4}，則△=8（a+1）=0，即a=-1，
此時方程為x²=0，解得x=0，即此時B={0}成立
③若B={0，-4}，則△=8（a+1）＞0，即a＞-1，
則$\left\{\begin{array}{l}{0-4=-2（a+1）}\\{0×（-4）={a}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{a=±1}\end{array}\right.$，解得a=1．
綜上a≤-1或a=1．

點評 本題主要考查集合的基本運算以及集合關系的轉化，根據(jù)一元二次方程根與判別式△之間的關系是解決本題的關鍵．