Question

2．已知x、y滿則$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，則a的值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的2倍，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，直線的截距最大，
此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$
即A（1，1），此時z=2×1+1=3，
當直線y=-2x+z經(jīng)過點B時，直線的截距最小，
此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=a}\end{array}\right.$，
即B（a，a），此時z=2×a+a=3a，
∵目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的2倍，
∴3=2×3a，
即a=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義求出最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵．