Question

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=sin（A-B）；
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合B的范圍即可解得B的值．
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理可解得a=2或a=4，從而有三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵sinA=sinC+sin（A-B）=sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$
∴由0＜B＜π，即可解得：B=$\frac{π}{3}$…7分
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，有（2$\sqrt{7}$）²=a²+6²-12acos$\frac{π}{3}$，即a²-6a+8=0，
解得：a=2或a=4，
當(dāng)a=2時(shí)，S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×6×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$；
當(dāng)a=4時(shí)，S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4×6×sin\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$…8分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，解題時(shí)注意分情況討論，屬于基本知識(shí)的考查．