Question

15．與x軸切于負(fù)半軸，圓心在直線y=3x上，且被直線x-y=0截得的弦長為$2\sqrt{7}$的圓的方程為（x+1）²+（y+3）²=9．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)圓心為C（a，b），算出點(diǎn)C到直線x-y=0的距離，根據(jù)垂徑定理建立方程，由于所求的圓與x軸相切，所以r²=b²，又因?yàn)樗�求圓心在直線3x-y=0上，則3a-b=0，即可得到所求圓的方程．

解答 解：設(shè)所求的圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
則圓心（a，b）到直線x-y=0的距離為$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$，
所以（$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$）²+7=r²，即2r²=（a-b）²+14-------①
由于所求的圓與x軸相切，所以r²=b^2-----------②
又因?yàn)樗�求圓心在直線3x-y=0上，則3a-b=0---------③
聯(lián)立①②③，解得a=1，b=3，r²=9或a=-1，b=-3，r²=9．
因?yàn)榕cx軸切于負(fù)半軸，
所有所求的圓的方程是（x+1）²+（y+3）²=9．
故答案為：（x+1）²+（y+3）²=9．

點(diǎn)評 本題給出圓滿足的條件，求圓的方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．