Question

4．函數(shù)f（x）=x³+3x²+3ax-4既有極大值又有極小值，則函數(shù)g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2a在區(qū)間（1，+∞）上一定（　　）

• A． 有最小值
• B． 有最大值
• C． 是減函數(shù)
• D． 是增函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x），利用△＞0求出a的取值范圍，再求出函數(shù)g（x）的導數(shù)g′（x），利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+3x²+3ax-4既有極大值又有極小值，
∴f′（x）=3x²-6x+3a=0時，有兩個不等的實數(shù)根，
∴36-4×3×3a＞0，
解得a＜1；
又函數(shù)g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2a，
∴g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
當x∈（1，+∞）時，$\frac{a}{{x}^{2}}$＜1，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值的應用問題，也考查了判別式的應用問題，是中檔題目．