Question

直線l與拋物線y²=x交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若y₁y₂=-1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB是（　�。�

• A、直角三角形
• B、鈍角三角形
• C、銳角三角形
• D、任意三角形

Answer 1

分析：由于直線l拋物線交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且y₁y₂=-1，即可得到x₁x₂=1，再由斜率之積為-1，得到OA⊥OB，即得答案．

解答：解：①若直線l與x軸垂直，
由于y₁y₂=-1得到點(diǎn)A（x₁，1），B（x₂，-1），
又由點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y²=x上，
則點(diǎn)A（1，1），B（1，-1），
顯然△AOB是直角三角形
②設(shè)直線l的方程可表示為y=kx+b（k≠0）
聯(lián)立拋物線方程y²=x，得到y(tǒng)²=

y-b

k

，（kx-b）²=x，
即y₁y₂=-

b

k

，x₁x₂=

b2

k2

，
又由y₁y₂=-1，則b=k，
則x₁x₂=1，
又由k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=-1，則OA⊥OB
故△AOB是直角三角形，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與圓錐曲線是高考的重點(diǎn)，每年必考，要著重復(fù)習(xí)．