Question

4．a(chǎn)，b，c，d四名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪某次賽事的第1，2，3，4名，比賽規(guī)則為：通過抽簽，將4人分為甲、乙兩個(gè)小組，每組兩人．第一輪比賽（半決賽）：兩組各自在組內(nèi)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，決出各組的勝者和負(fù)者；第二輪比賽決賽：兩組中的勝者進(jìn)行一場(chǎng)比賽爭(zhēng)奪1，2名，兩組中的負(fù)者進(jìn)行一場(chǎng)比賽爭(zhēng)奪第3，4名．四名選手以往交手的勝負(fù)情況累計(jì)如下表：

	a	b	c	d
a		a13勝26負(fù)	a20勝10負(fù)	a21勝21負(fù)
b	b26勝13負(fù)		b14勝28負(fù)	b19勝19負(fù)
c	c10勝20負(fù)	c28勝14負(fù)		c18勝18負(fù)
d	d21勝21負(fù)	d19勝19負(fù)	d18勝18負(fù)

若抽簽結(jié)果為甲組：a，c；乙組：b，d．每場(chǎng)比賽中，雙方以往交手各自獲勝的頻率作為獲勝的概率．
（Ⅰ）求c獲得第1名的概率；
（Ⅱ）求c的名次X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a分別與b，c，d比賽時(shí)獲勝的概率，b分別與a，c，d比賽時(shí)獲勝的概率，c分別與a，b，d比賽時(shí)獲勝的概率，由此能求出C獲得第一名的概率．
（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)a分別與b，c，d比賽時(shí)獲勝的事件分別為A_b，A_c，A_d，
則P（A_b）=$\frac{1}{3}$，P（A_c）=$\frac{2}{3}$，P（A_d）=$\frac{1}{2}$，
b分別與a，c，d比賽時(shí)獲勝的事件分別為B_a，B_c，B_d，
則P（B_a）=$\frac{2}{3}$，P（B_c）=$\frac{1}{3}$，P（B_d）=$\frac{1}{2}$，
c分別與a，b，d比賽時(shí)獲勝的事件分別為C_a，C_b，C_d，
則P（C_a）=$\frac{1}{3}$，P（C_b）=$\frac{2}{3}$，P（C_d）=$\frac{1}{2}$，
d分別與a，b，c比賽時(shí)獲勝的事件分別為Da，D_b，D_c，
則P（D_a）=$\frac{1}{2}$，P（D_b）=$\frac{1}{2}$，P（D_c）=$\frac{1}{2}$，
∴C獲得第一名的概率：
P=P（C_a）P（B_d）P（C_b）+P（C_a）P（D_b）P（C_d）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{36}$．
（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，
P（X=1）=P（C_a）P（B_d）P（C_b）+P（C_a）P（D_b）P（C_d）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{36}$．
若C為第二名，則甲組中C勝，且C與乙組的勝者比賽時(shí)負(fù)，
∴P（X=2）=P（C_a）P（B_d）P（B_c）+P（C_a）P（D_b）P（D_c）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{36}$，
若C為第3名，則甲組中C負(fù)，且C與乙組的負(fù)者比賽時(shí)勝，
∴P（X=3）=P（A_c）P（D_b）P（C_b）+P（A_c）P（B_d）P（C_d）═$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=4）=1-P（X=1）-P（X=2）-P（X=3）=1-$\frac{7}{36}-\frac{5}{36}-\frac{7}{18}$=$\frac{5}{18}$．
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{7}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{5}{18}$

EX=$1×\frac{7}{36}+2×\frac{5}{36}+3×\frac{14}{36}+4×\frac{10}{36}$=$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．