Question

11．已知A（-1，0），B（1，0），圓C：x²-2kx+y²+2y-3k²+15=0．
（Ⅰ）若過B點至少能作一條直線與圓C相切，求k的取值范圍．
（Ⅱ）當k=$\frac{\sqrt{21}}{2}$時，圓C上存在兩點P₁，P₂滿足∠AP_iB=90°（i=1，2），求|P₁P₂|的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將圓的一般式方程化為標準式，求出圓心坐標和半徑，由題意和點與圓的位置關系列出不等式組，求出k的取值范圍；
（Ⅱ）由題意和圓的性質判斷出P₁、P₂在以AB為直徑的圓上，將k=$\frac{\sqrt{21}}{2}$代入求出圓C的方程，求出在以AB為直徑的圓的方程，兩圓的方程相減求出公共弦P₁P₂的方程，由點到直線的距離公式求出O到直線P₁P₂的距離，由弦長公式求出|P₁P₂|的值．

解答 解：（Ⅰ）圓C的標準方程是（x-k）²+（y+1）²=4k²-14，
∵過B（1，0）點至少能作一條直線與圓C相切，
∴B點在圓C外或在圓周上，則$\left\{\begin{array}{l}{1+{k}^{2}-2k+1≥4{k}^{2}-14}\\{4{k}^{2}-14＞0}\end{array}\right.$，
解得$-\frac{8}{3}≤k＜-\frac{\sqrt{14}}{2}$或$\frac{\sqrt{14}}{2}＜k≤2$；
（Ⅱ）∵∠AP_iB=90°（i=1，2），
∴P₁，P₂在以AB為直徑的圓上，
∵P₁，P₂在圓C上，
∴P₁P₂是兩圓的公共弦，
當k=$\frac{\sqrt{21}}{2}$時，圓C的方程為：$（x-\frac{\sqrt{21}}{2}）^{2}+（y+1）^{2}=7$，
即${x}^{2}+{y}^{2}-\sqrt{21}x+2y-\frac{3}{4}=0$，
以AB為直徑的圓的方程是：x²+y²=1，
兩圓方程相減得，公共弦所在的直線方程為$\sqrt{21}x-2y-\frac{1}{4}=0$，
∴O到直線P₁P₂的距離d=$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{21+4}}$=$\frac{1}{20}$，
∴|P₁P₂|=2$\sqrt{1-（\frac{1}{20}）^{2}}$=2×$\frac{\sqrt{399}}{20}$=$\frac{\sqrt{399}}{10}$．

點評 本題考查了點、直線、圓與圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式，以及配方法的應用，考查化簡、計算能力．