Question

5．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，要用時(shí)最小，則首先速度最高，即為：30海里/小時(shí)，然后是距離最短，則OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60°解得t，再解得相應(yīng)角．

解答 解：（1）如圖設(shè)小艇的速度為v，時(shí)間為t相遇，
則由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC
即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60°
∴600t=400
解得：t=$\frac{2}{3}$，此時(shí)∠BOD=30°
此時(shí)，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．