Question

已知z₁，z₂為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z₁•

.

z1

+3（z₁+

.

z1

）+5=0，

z2+3

z2-3

為純虛數(shù)，z₁，z₂在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）寫出線段PQ長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z₁=x+yi（x，y∈R），代入z₁•

.

z1

+3（z₁+

.

z1

）+5=0整理得到z₁在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)z₂=x+yi（x，y∈R），代入

z2+3

z2-3

，由其為純虛數(shù)整理得到z₂在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Q的軌跡；
（3）畫出P，Q的軌跡所表示的圖形，數(shù)形結(jié)合求得線段PQ長的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)z₁=x+yi（x，y∈R），
由z₁•

.

z1

+3（z₁+

.

z1

）+5=0，得：
（x+yi）（x-yi）+3（x+yi+x-yi）+5=0，
整理得（x+3）²+y²=4．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為（x+3）²+y²=4；
（2）設(shè)z₂=x+yi（x，y∈R），

z2+3

z2-3

=

x+3+yi

x-3+yi

=

x2+y2-9-6yi

(x-3)2+y2

，
∵

z2+3

z2-3

為純虛數(shù)，
∴x²+y²=9且y≠0，
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為x²+y²=9 （y≠0）；
（3）如圖，

由圖可知，線段PQ長的取值范圍[0，8]．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．