Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角等于120°，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角等于135°，|$\overrightarrow{c}$|=3，則|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 通過向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$構(gòu)成三角形，利用∠BAC=60°，∠ABC=45°，計(jì)算進(jìn)而即得結(jié)論．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$能構(gòu)成三角形，
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角等于120°，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角等于135°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，∠ABC=180°-135°=45°，
過點(diǎn)C到AB邊垂線CD交AB于D，
∵BC=|$\overrightarrow{c}$|=3，∴CD=BCsin∠ABC=3sin45°=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
又∵CD=ACsin∠BAC=ACsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{6}$，即|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{6}$，
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求向量的模，利用$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$構(gòu)建三角形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．