Question

5．已知關(guān)于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集是{x|x≠-$\frac{1}{a}$，x∈R}，且a＞b，則$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$的最小值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知得ab=1，從而$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2}{a-b}$=（a-b）+$\frac{2}{a-b}$，由此利用基本不等式能求出$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$的最小值．

解答 解：∵關(guān)于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集是{x|x≠-$\frac{1}{a}$，x∈R}，且a＞b，
∴a＞0，且對應(yīng)方程有兩個相等的實根為-$\frac{1}{a}$
由根與系數(shù)的故關(guān)系可得-$\frac{1}{a}$•（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{a}$，即ab=1
故$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2}{a-b}$=（a-b）+$\frac{2}{a-b}$，
∵a＞b，∴a-b＞0，
由基本不等式可得（a-b）+$\frac{2}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{2}{a-b}}$≥2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a-b=$\sqrt{2}$時取等號．
故$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$的最小值為：2$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．