【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)
的零點個數(shù)；
（3）當
時，求證不等式
解集為空集.
【答案】（1）
的單調(diào)增區(qū)間為
，單調(diào)減區(qū)間為
（2）
在
上只有一個零點（3）證明見解析
【解析】
（1）求導得到
，計算得到答案.
（2）求導得到
，分類討論
，
和
三種情況得到答案.
（3）原題等價于
恒成立，求導得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算最小值
得到證明.
（1）的定義域為.
令
，得
當
時，有
，所以在上單調(diào)遞增.
當
時，有
，所以在上單調(diào)遞減.
綜上所述：的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
（2）函數(shù)
，
令
，解得
，
當時，在
上遞減，有
.所以
.
所以有一個零點.
當時，在上遞增，所以有一個零點.
當時，在上遞增，在
上遞減，在
上遞增.
此時
，所以有一個零點.
綜上所述：在
上只有一個零點.
（3）當時，不等式
解集為空集,等價于
在定義域內(nèi)恒成立.
即
在定義域內(nèi)恒成立.
令
.
，令
，得
列表得
|
|
|
|
| — | 0 | + |
| 遞減 | 最小值 | 遞增 |
因為
，所以
.
又
，所以
所以
恒成立.所以不等式解集為空集
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如果數(shù)列
對于任意
，都有
，其中
為常數(shù)，則稱數(shù)列是“間等差數(shù)列”，為“間公差”.若數(shù)列滿足
，，
.
（1）求證：數(shù)列是“間等差數(shù)列”，并求間公差；
（2）設(shè)
為數(shù)列的前n項和，若的最小值為-153，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）類似地：非零數(shù)列
對于任意，都有
，其中
為常數(shù)，則稱數(shù)列是“間等比數(shù)列”，為“間公比”.已知數(shù)列
中，滿足
，
，
，試問數(shù)列是否為“間等比數(shù)列”，若是，求最大的整數(shù)
使得對于任意，都有
；若不是，說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】下圖為函數(shù)
的部分圖象，
、
是它與
軸的兩個交點，
、
分別為它的最高點和最低點，
是線段
的中點，且
為等腰直角三角形.
（1）求
的解析式；
（2）將函數(shù)圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，再向左平移
個單位長度得到
的圖象，求的解析式及單調(diào)增區(qū)間，對稱中心.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某社會機構(gòu)為了調(diào)查對手機游戲的興趣與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下
列聯(lián)表：
（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有
的把握認為對手機游戲的興趣程度與年齡有關(guān)？
（2）若已經(jīng)從40歲以上的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了10名，現(xiàn)從這10名被調(diào)查者中隨機選取3名，記這3名被選出的被調(diào)查者中對手機游戲很有興趣的人數(shù)為
，求的分布列及數(shù)學期望.
附：
參考數(shù)據(jù)：
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）求函數(shù)
的最小正周期；
（2）當
時，求函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
為實數(shù).
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）設(shè)
是函數(shù)的導函數(shù)，若
對任意
恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）設(shè)
，求函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)
，求證：存在唯一的
，使得函數(shù)
的圖象在點
處的切線l與函數(shù)
的圖象也相切；
（3）求證：對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式
成立．
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