Question

17．已知正實數(shù)x，y，且x²+y²=1，若f（x，y）=$\frac{{{x^3}+{y^3}}}{{{{（x+y）}^3}}}$，則f（x，y）的值域為[$\frac{1}{4}$，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，可得到$f（x，y）=\frac{1-xy}{1+2xy}$，然后分離常數(shù)得到$f（x，y）=-\frac{1}{2}+\frac{\frac{3}{2}}{1+2xy}$，由條件可求得$0＜xy≤\frac{1}{2}$，這樣便可求出f（x，y）的值域．

解答 解：x²+y²=1；
∴$f（x，y）=\frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{（x+y）^{3}}$
=$\frac{（x+y）（{x}^{2}+{y}^{2}-xy）}{（x+y）^{3}}$
=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-xy}{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}$
=$\frac{1-xy}{1+2xy}$
=$\frac{-\frac{1}{2}（1+2xy）+\frac{3}{2}}{1+2xy}$
=$-\frac{1}{2}+\frac{\frac{3}{2}}{1+2xy}$；
∵1=x²+y²≥2xy，且x，y＞0；
∴$0＜xy≤\frac{1}{2}$；
∴1＜1+2xy≤2；
∴$\frac{3}{4}≤\frac{\frac{3}{2}}{1+2xy}＜\frac{3}{2}$；
∴$\frac{1}{4}≤f（x，y）＜1$；
∴f（x，y）的值域為$[\frac{1}{4}，1）$．
故答案為：[$\frac{1}{4}$，1）．

點評 考查立方和公式，分離常數(shù)法的運用，以及不等式a²+b²≥2ab的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)．