Question

15．已知f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=ax²-2lnx，則g（x）=1時有兩個不同的根，求a的取值范圍；
（3）存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=-$\frac{4xlnx}{{x}^{4}}$=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$，從而討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）化簡可得a=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$=f（x），從而由（1）作函數(shù)的圖象，從而解得；
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂＞1，從而化不等式為函數(shù)h（x）=f（x）+klnx在（1，+∞）上存在單調(diào)減區(qū)間，從而可得h′（x）=f′（x）+$\frac{k}{x}$=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$+$\frac{k}{x}$=$\frac{k{x}^{2}-4lnx}{{x}^{3}}$＜0在（1，+∞）上有解，從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{\frac{2}{x}•{x}^{2}-（1+2lnx）•2x}{{x}^{4}}$=-$\frac{4xlnx}{{x}^{4}}$=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$，
故x∈（0，1）時，f′（x）＞0，
x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）∵g（x）=ax²-2lnx=1，
∴a=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$=f（x），
作函數(shù)f（x）的圖象如下，
，
∵f（1）=$\frac{1}{1}$=1，
∴結(jié)合圖象可知，a的取值范圍為（0，1）；
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂＞1，
∵f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，y=lnx在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|可化為
f（x₂）-f（x₁）≥k（lnx₁-lnx₂），
∴f（x₂）+klnx₂≥f（x₁）+klnx₁，
即函數(shù)h（x）=f（x）+klnx在（1，+∞）上存在單調(diào)減區(qū)間，
即h′（x）=f′（x）+$\frac{k}{x}$=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$+$\frac{k}{x}$=$\frac{k{x}^{2}-4lnx}{{x}^{3}}$＜0在（1，+∞）上有解，
即m（x）=kx²-4lnx＜0在（1，+∞）上有解，
即k＜$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$在（1，+∞）上有解，
∵（$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$）′=$\frac{4-8lnx}{{x}^{3}}$，當(dāng)x=$\sqrt{e}$時，$\frac{4-8lnx}{{x}^{3}}$=0；
故（$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$）_max=$\frac{2}{e}$；
∴k＜$\frac{2}{e}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了學(xué)生由繁化簡的能力．