Question

如圖在邊長為的正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，若△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐A-DEF以后，以下命題錯誤的是（ ）

A．HG與IJ所成角為60°
B．HG⊥AF
C．三棱錐A-DEF的體積為
D．三角形DEF的面積為

Answer 1

【答案】分析：△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，I，J分別為BE、DE的中點，則IJ∥側棱，故GH與IJ所成角與側棱與GH所成的角相等．AD為折成三棱錐的側棱，則GH與IJ所成角的度數(shù)為60°；由HG∥BC，AF⊥BC，知HG⊥AF；邊長為的正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，能求出三角形DEF的面積和三棱錐A-DEF的體積．
解答：解：將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，
I、J分別為BE、DE的中點，則IJ∥側棱，
故GH與IJ所成角與側棱與GH所成的角相等；
AD為折成三棱錐的側棱，因為∠AHG=60°，
故GH與IJ所成角的度數(shù)為60°，故A正確；
∵HG∥BC，AF⊥BC，∴HG⊥AF，故B正確；
∵邊長為的正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，
∴三角形DEF的面積S==，
三棱錐A-DEF的體積V=××=，故C正確，D錯誤．
故選D．
點評：本題主要考查了兩直線所成角，考查了兩直線的位置關系的判斷，考查了三角形面積和三錐錐體的計算，解題的關鍵就是弄清翻折后的圖形，屬于中檔題．