Question

橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為．

(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 若直線與橢圓相交于兩點(不是左右頂點)，且以為直

徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題： ①

左焦點 (－c,0) 到點 P(2,1) 的距離為：d = = ②         …………………2分

由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3．                   ………………3分   

∴所求橢圓 C 的方程為 ．          ………………4分

（2）設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2)，將 y = kx + m代入橢圓方程得

 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．

∴x1 + x2 = －，x1x2 = ，      ………………5分

且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．

∵AB為直徑的圓過橢圓右頂點 A2(2,0) ，所以 •= 0．       ………………6分

所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)

= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4

= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ．              ………………9分

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = －k 或 m = －2k 都滿足 △ > 0．  …………10分

若 m = －2k 時，直線 l 為 y = kx－2k = k (x－2) 恒過定點 A2(2,0)，不合題意舍去；11分

若 m = －k 時，直線 l 為 y = kx－k = k (x－)， 恒過定點 (,0) ．  ………12分