Question

18．為了了解某年級(jí)1 000名學(xué)生的百米成績情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米成績，被抽取學(xué)生的成績?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率之比為2：8：20，且第二組的頻數(shù)為8．
（Ⅰ）將頻率當(dāng)作概率，請(qǐng)估計(jì)該年級(jí)學(xué)生中百米成績?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅱ）求調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少名學(xué)生的百米成績；
（Ⅲ）若從第一、五組中隨機(jī)取出兩名學(xué)生的成績，求這兩名學(xué)生的成績的差的絕對(duì)值大于1的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出百米成績?cè)赱16，17）內(nèi)的頻率，然后求解該年級(jí)學(xué)生中百米成績?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率分別為2x，8x，20x．利用概率和為1，求出x，然后求解調(diào)查中隨機(jī)抽取學(xué)生的百米成績的人數(shù)．
（Ⅲ）百米成績?cè)诘谝唤M的學(xué)生人數(shù)，記他們的成績?yōu)閍，b，百米成績?cè)诘谖褰M的學(xué)生人數(shù)記他們的成績?yōu)閙，n，p，q，列出所有的基本事件數(shù)目，滿足成績的差的絕對(duì)值大于1的基本事件個(gè)數(shù)，然后求解概率．

解答 解：（Ⅰ）百米成績?cè)赱16，17）內(nèi)的頻率為0.32×1=0.32，
0.32×1000=320所以估計(jì)該年級(jí)學(xué)生中百米成績?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)為320人…（4分）
（Ⅱ）設(shè)圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率分別為2x，8x，20x．
依題意，得2x+8x+20x+0.32×1+0.08×1=1，解得x=0.02…（6分）
設(shè)調(diào)查中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的百米成績，則8×$0.02=\frac{8}{n}$，解得n=50，
故調(diào)查中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的百米成績…（8分）
（Ⅲ）百米成績?cè)诘谝唤M的學(xué)生人數(shù)為2×0.02×50=2，記他們的成績?yōu)閍，b，
百米成績?cè)诘谖褰M的學(xué)生人數(shù)為0.08×1×50=4，記他們的成績?yōu)閙，n，p，q，
則從第一、五組中隨機(jī)取出兩名學(xué)生的成績包含的基本事件有：{a，b}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共15個(gè)…（10分）
其中滿足成績的差的絕對(duì)值大于1的基本事件有：{a，m}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，共8個(gè)，所以所求概率P=$\frac{8}{15}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，古典概型的概率的求法，考查計(jì)算能力．