Question

1．某保險公司有一款保險產品的歷史收益率（收益率=利潤÷保費收入）的頻率分布直方圖如圖所示：
（Ⅰ）試估計平均收益率；
（Ⅱ）根據(jù)經(jīng)驗，若每份保單的保費在20元的基礎上每增加x元，對應的銷量y（萬份）與x（元）有較強線性相關關系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組x與y的對應數(shù)據(jù)：

x（元）	25	30	38	45	52
銷售y（萬冊）	7.5	7.1	6.0	5.6	4.8

據(jù)此計算出的回歸方程為$\hat y=10.0-bx$．
（i）求參數(shù)b的估計值；
（ii）若把回歸方程$\hat y=10.0-bx$當作y與x的線性關系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估計此產品的收益率，每份保單的保費定為多少元時此產品可獲得最大收益，并求出該最大收益．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出區(qū)間中值，取值概率，即可估計平均收益率；
（Ⅱ）（i）利用公式，求參數(shù)b的估計值；
（ii）設每份保單的保費為20+x元，則銷量為y=10-0.1x，則保費收入為f（x）=（20+x）（10-0.1x）萬元，f（x）=200+8x-0.1x²=360-0.1（x-40）²，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）區(qū)間中值依次為：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，
取值概率依次為：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
平均收益率為0.05×0.10+0.15×0.20+0.25×0.25+0.35×0.30+0.45×0.10+0.55×0.05
=$\frac{1}{{{{10}^4}}}（{50+300+625+}\right.$1050+450+275）=0.275．
（Ⅱ）（i）$\overline x=\frac{25+30+38+45+52}{5}$=$\frac{190}{5}=38$，$\overline y=\frac{7.5+7.1+6.0+5.6+4.8}{5}$=$\frac{31}{5}=6.2$
所以$b=\frac{10.0-6.2}{38}=0.10$
（ii）設每份保單的保費為20+x元，則銷量為y=10-0.1x，
則保費收入為f（x）=（20+x）（10-0.1x）萬元，f（x）=200+8x-0.1x²=360-0.1（x-40）²
當x=40元時，保費收入最大為360萬元，
保險公司預計獲利為360×0.275=99萬元．

點評 本題考查回歸方程，考查概率的計算，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．