Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，x∈[{-1，0}]\\ \sqrt{1-{x^2}}，x∈（{0，1}]\end{array}\right.$，則$\int_{-1}^1$f（x）dx=$\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)積分的幾何意義以及分段函數(shù)的積分公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：$\int_{-1}^1$f（x）dx=∫${\;}_{-1}^{0}$（x+1）dx+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=（$\frac{1}{2}$x²+x）|${\;}_{-1}^{0}$+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx
=0-（$\frac{1}{2}-1$）+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，
∵${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx的幾何意義為以原點(diǎn)為圓心半徑為1的圓的面積是$\frac{1}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
∴$\int_{-1}^1$f（x）dx=$\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的積分的計(jì)算，根據(jù)積分的幾何意義以及常見函數(shù)的積分公式是解決本題的關(guān)鍵．