Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為$\frac{{a}^{2}}{2}$（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 90°
• D． 60°

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積求出a，b的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，當(dāng)x=$\frac{{a}^{2}}{c}$時，y═$\frac{{a}^{2}}{c}$×$\frac{a}$=$\frac{ab}{c}$，
即A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），F(xiàn)（c，0），
則△OAF的面積S=$\frac{1}{2}•c•\frac{ab}{c}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
即b=a，
則雙曲線的漸近線為y=±x，
則漸近線互相垂直，則夾角為90°，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)條件求出漸近線方程是解決本題的關(guān)鍵．