Question

7．已知函數f（x）=$\frac{2x+4}{x+1}$．
（1）求f（x）的定義域，對稱中心及單調區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）+x，證明：g（x）在（$\sqrt{2}$-1，+∞）上單調遞增；
（3）不等式|f（x）|＜2a+1恰有兩個整數解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由分母不為0，求出函數的定義域即可，將f（x）變形，從而求出函數的對稱中心和單調區(qū)間；
（2）通過求導證明即可；（3）問題轉化為解不等式2＜2a+1＜5，解出即可．

解答 解：（1）∵x+1≠0，∴x≠-1，
∴f（x）的定義域是{x|x≠-1}，
由f（x）=$\frac{2x+4}{x+1}$=$\frac{2（x+1）+2}{x+1}$=2+$\frac{2}{x+1}$，
得：函數的對稱中心是（-1，2），
∴函數在（-∞，-1），（-1，+∞）上遞減；
（2）g（x）=f（x）+x=x+2+$\frac{2}{x+1}$，
g′（x）=1-$\frac{2}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{（x+1）}^{2}-2}{{（x+1）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，即（x+1）²-2＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$-1或x＜-$\sqrt{2}$-1，
∴g（x）在（$\sqrt{2}$-1，+∞）上單調遞增；
（3）不等式|f（x）|＜2a+1恰有兩個整數解，
而函數的對稱中心是（-1，2），
∴2＜2a+1＜5，解得：$\frac{1}{2}$＜a＜2．

點評 本題考查了函數的定義域、對稱中心、單調性問題，考查不等式的解集問題，考查轉化思想，是一道中檔題．