Question

13．已知f（x）=2+$\sqrt{x}$，x∈[1，16]，則y=[f（x）]²+f（x²）的值域是[12，22]．

Answer 1

分析 由題意求出函數(shù)的解析式，注意定義域，換元由二次函數(shù)的知識可得．

解答 解：∵f（x）=2+$\sqrt{x}$，x∈[1，16]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（2+$\sqrt{x}$）²+2+x
=2x+4$\sqrt{x}$+6=2（$\sqrt{x}$+1）²+4，
由x∈[1，16]和x²∈[1，16]可得x∈[1，4]，
∴t=$\sqrt{x}$∈[1，2]，
研究二次函數(shù)y=2（t+1）²+4，t∈[1，2]，
可得當(dāng)t=1時，函數(shù)取最小值12，當(dāng)t=2時，函數(shù)取最小值22，
故函數(shù)的值域為：[12，22]．
故答案為：[12，22]．

點評 本題考查函數(shù)的值域，涉及二次函數(shù)和換元法，求出函數(shù)的定義域是解決問題的關(guān)鍵，屬易錯題中檔題．