Question

10．設x，y，z均為大于1的實數(shù)，且z為x和y的等比中項，則$\frac{lgz}{4lgx}+\frac{lgz}{lgy}$的最小值為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)以及對數(shù)的運算法則化簡求解即可．

解答 解：x，y，z均為大于1的實數(shù)，且z為x和y的等比中項，z²=xy，
$\frac{lgz}{4lgx}+\frac{lgz}{lgy}$=$\frac{\frac{1}{2}lg（xy）}{4lgx}+\frac{\frac{1}{2}lg（xy）}{lgy}$=$（\frac{1}{8}+\frac{lgy}{8lgx}）+（\frac{1}{2}+\frac{lgx}{2lgy}）$=$\frac{5}{8}+\frac{lgy}{8lgx}+\frac{lgx}{2lgy}$≥$\frac{5}{8}+2\sqrt{\frac{lgy}{8lgx}•\frac{lgx}{2lgy}}$=$\frac{9}{8}$．當且僅當lgy=2lgx時取等號．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查對數(shù)的運算法則等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，基本不等式的應用．