Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+1．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）若f（x）＞2^x，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由式子有意義可得2^x-1≠0，解不等式可得定義域?yàn)椋?br />（2）原不等式可化為$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞2^x-1，整理可得$\frac{{2}^{x}（{2}^{x}-2）}{{2}^{x}-1}$＜0，可得1＜2^x＜2，由指數(shù)函數(shù)可得．

解答 解：（1）由式子有意義可得2^x-1≠0，解得x≠0，
∴已知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
（2）∵f（x）＞2^x，∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+1＞2^x，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞2^x-1，即$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-（2^x-1）＞0，
通分可得$\frac{1-（{2}^{x}-1）^{2}}{{2}^{x}-1}$＞0即$\frac{{2}^{x}（{2}^{x}-2）}{{2}^{x}-1}$＜0，
解得1＜2^x＜2，解得0＜x＜1．

點(diǎn)評 本題考查分式不等式和指數(shù)不等式，涉及函數(shù)的定義域，屬基礎(chǔ)題．