Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=-1，S_n=2a_n+n（n∈N^*），則a_n=1-2ⁿ．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列a_n=S_n-S_n-1，構(gòu)造方程組，將數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行化簡，然后利用構(gòu)造法構(gòu)造一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)論．

解答 解：∵S_n=2a_n+n，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1+n-1，
兩式相減得S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），
即a_n=2a_n-2a_n-1+1，
即a_n=2a_n-1-1，
即a_n-1=2a_n-1-1-1=2（a_n-1-1），
故數(shù)列{a_n-1}是公比q=2，首項(xiàng)為a₁-1=-1-1=-2的等比數(shù)列，
則a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，
故a_n=1-2ⁿ，
故答案為：1-2ⁿ．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．