Question

已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n} (n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3個(gè)元素，同時(shí)這3個(gè)元素的和是3的倍數(shù)．記符合上述條件的集合A的個(gè)數(shù)為f(n)．

（1）求f(3)，f(4)；

（2）求f(n)（用含n的式子表示）．

Answer 1

解：（1）f(3)＝1，f(4)＝2；                   

（2）設(shè)A0＝{m∣m＝3p，p∈N*，p≤}，

A1＝{m∣m＝3p－1，p∈N*，p≤}，

A2＝{m∣m＝3p－2，p∈N*，p≤}，

它們所含元素的個(gè)數(shù)分別記為∣A0∣，∣A1∣，∣A2∣．

①當(dāng)n＝3k時(shí)，則∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k．

k＝1，2時(shí)，f(n)＝(C)3＝k3；

k≥3時(shí)，f(n)＝3C＋(C)3＝k3－k2＋k．

從而 f(n)＝n3－n2＋n，n＝3k，k∈N*．       

②當(dāng)n＝3k－1時(shí)，則∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝∣A2∣＝k．

k＝2時(shí)，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4；

k＝3時(shí)，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20；

k＞3時(shí)，f(n)＝C＋2C＋C (C)2＝k3－3k2＋k－1； 

從而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－1，k∈N*． 

③當(dāng)n＝3k－2時(shí)，∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝k－1，∣A2∣＝k．

k＝2時(shí)，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2；

k＝3時(shí)，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13；

k＞3時(shí)，f(n)＝2C＋C＋(C)2 C＝k3－k2＋5k－2；

從而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－2，k∈N*．

所以f(n)＝