Question

12．（1）解關于x的不等式：$\frac{x+2}{k}＞1+\frac{x-3}{{k}^{2}}$（k≠0）；
（2）如果上述不等式的解集為（3，+∞），求k的值．
（3）如果x=3在解集中，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化為（k-1）x＞k²-2k-3，分類討論可得當k=1時解集為R，當k＜1且k≠0時解集為{x|x＜$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$}，當k＞1時解集為{x|x＞$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$}；
（2）由（1）可得k＞1且$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$=3，解關于k的方程可得；
（3）可得$\frac{3+2}{k}$＞1+$\frac{3-3}{{k}^{2}}$成立，解關于k的不等式可得．

解答 解：（1）不等式$\frac{x+2}{k}＞1+\frac{x-3}{{k}^{2}}$可化為k（x+2）＞k²+（x-3），
整理可得（k-1）x＞k²-2k-3，
當k=1時，不等式的解集為R，
當k＜1且k≠0時，不等式的解集為{x|x＜$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$}，
當k＞1時，不等式的解集為{x|x＞$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$}；
（2）如果上述不等式的解集為（3，+∞），
則k＞1且$\frac{{k}^{2}-2k-3}{k-1}$=3，解得k=5；
（3）如果x=3在解集中，則$\frac{3+2}{k}$＞1+$\frac{3-3}{{k}^{2}}$成立，
即$\frac{5}{k}$＞1，移項通分可得$\frac{k-5}{k}$＜0，
解得0＜k＜5，∴實數(shù)k的取值范圍為（0，5）

點評 本題考查不等式的解集和方程的解得關系，涉及分類討論的思想，屬中檔題．