Question

9．用數(shù)學(xué)歸納法證明f（n）=3×5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹（n∈N^*）能被17整除．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，變形f（k+1）=3×5^2k+3+2^3k+4=25（3×5^2k+1+2^3k+1）-17×3^3k+1，即可證明．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=3×5³+2⁴=391=17×23，能夠被17整除；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，f（k）=3×5^2k+1+2^3k+1能夠被17整除．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=3×5^2k+3+2^3k+4=25（3×5^2k+1+2^3k+1）-17×3^3k+1，能夠被17整除，
綜上可得：?n∈N^*，f（n）=3×5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹能被17整除．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．