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20．設(shè)$\frac{3}{2}$≤x≤2，求證：2$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2x-3}$+$\sqrt{6-3x}$＜8．

分析 由柯西不等式可得，（2$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2x-3}$+$\sqrt{6-3x}$）2≤（22+12+12）（x+1+2x-3+6-3x），化簡整理即可得證．

解答 證明：由柯西不等式可得，
（2$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2x-3}$+$\sqrt{6-3x}$）2≤（22+12+12）（x+1+2x-3+6-3x）
=6×4，
即有2$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2x-3}$+$\sqrt{6-3x}$≤2$\sqrt{6}$＜8．
則$\frac{3}{2}$≤x≤2時，不等式2$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2x-3}$+$\sqrt{6-3x}$＜8．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，主要考查柯西不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．若橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)1、F2是它的左、右焦點(diǎn)，橢圓C過點(diǎn)（0，1），且離心率為e=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)為A、B，直線l的方程為x=4，P是橢圓上任一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于G、H兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{G{F_1}}•\overrightarrow{H{F_2}}$的值；
（3）過點(diǎn)Q（1，0）任意作直線m（與x軸不垂直）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于R點(diǎn)$\overrightarrow{RM}=λ\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}=μ\overrightarrow{NQ}$．證明：λ+μ為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．已知正△ABC三個頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是$\frac{9π}{4}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=1-cosx在[0，2π]上的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．如圖，已知$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
（1）若C、D是AB的三等分點(diǎn)，求$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$；
（2）若C、D、E是AB的四等分點(diǎn)，求$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，y0）在該雙曲線上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�
A．y=±xB．$y=±\sqrt{2}x$C．$y=±\sqrt{3}x$D．y=±2x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=4，Sn=nan+2-$\frac{n（n-1）}{2}$（n≥2，n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1=4且bn+1=bn2-（n-1）bn-2（n∈N*），求證：bn＞an（n≥2，n∈N*）；
（3）求證：（1+$\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}$）（1+$\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}$）…（1+$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$）＜$\root{3}{e}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．已知|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=4，且∠AOB=90°，又$\overrightarrow{OP}$=（1-t）$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$且OP⊥AB，則t=$\frac{9}{25}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=$\frac{n}{n+2}$an（n∈N*），求：
（1）數(shù)列{an}的通項公式；
（2）數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{4}$}的前2012項和S2012．

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同步練習(xí)冊答案