Question

10．若橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂是它的左、右焦點(diǎn)，橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為e=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)為A、B，直線l的方程為x=4，P是橢圓上任一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于G、H兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{G{F_1}}•\overrightarrow{H{F_2}}$的值；
（3）過(guò)點(diǎn)Q（1，0）任意作直線m（與x軸不垂直）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于R點(diǎn)$\overrightarrow{RM}=λ\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}=μ\overrightarrow{NQ}$．證明：λ+μ為定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出a，b即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)出P，G，H的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的定義即可求$\overrightarrow{G{F_1}}•\overrightarrow{H{F_2}}$的值；
（3）利用直線和橢圓相交以及向量的共線關(guān)系建立方程關(guān)系即可證明λ+μ為定值．

解答 解：（1）橢圓的離心率為e=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，則c=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$a，
∵橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），∴$\frac{1}{^{2}}=1$，
即b²=1，則c²=a²-b²，
即$\frac{8}{9}{a}^{2}$=a²-1，解得a²=9，
故橢圓的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）由橢圓的方程得A（-3，0），B（3，0），
設(shè)p（x₀，y₀），G（4，m），H（4，n），
∵A，P，G三點(diǎn)共線，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0+3}}=\frac{m}{7}$，即m=$\frac{7{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$，同理n=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，
即$G（4，\frac{{7{y_0}}}{{{x_0}+3}}）$，$H（4，\frac{y_0}{{{x_0}-3}}）$，
則$\overrightarrow{G{F_1}}•\overrightarrow{H{F_2}}$=$\frac{65}{9}$．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（0，t）
由$\overrightarrow{RM}=λ\overrightarrow{MQ}$得（x₁，y₁-t）=λ（1-x₁，-y₁）
所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{λ}{1+λ}\\{y_1}=\frac{t}{1+λ}\end{array}\right.$（λ≠-1）代入橢圓方程得λ²+9t²=9（1+λ）²①
同理由$\overrightarrow{RN}=μ\overrightarrow{NQ}$得μ²+9t²=9（1+μ）²②
由①-②得$λ+μ=-\frac{9}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線和橢圓相交的位置關(guān)系考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及三點(diǎn)共線的應(yīng)用，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．