Question

12．己知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a _n+1=3a_n-2．
（]）證明：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求出a_n；
（2）設(shè)b_n=kⁿ•log₃（a_n-1）（k為非零常數(shù)），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （]）通過(guò)對(duì)a_n+1=3a_n-2變形可知a_n+1-1=3（a_n-1），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為3、公比為3的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=n•kⁿ，分k是否為1兩種情況討論，當(dāng)k=1時(shí)利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可，當(dāng)k≠1時(shí)利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （]）證明：∵a_n+1=3a_n-2，
∴a_n+1-1=3（a_n-1），
又∵a₁-1=4-1=3，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為3、公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n-1=3ⁿ，
∴a_n=1+3ⁿ；
（2）解：由（1）可知b_n=kⁿ•log₃（a_n-1）=kⁿ•log₃3ⁿ=n•kⁿ，
∴S_n=1•k¹+2•k²+…+n•kⁿ，
當(dāng)k=1時(shí)，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
當(dāng)k≠1時(shí)，kS_n=1•k²+2•k³+…+（n-1）•kⁿ+n•kⁿ⁺¹，
錯(cuò)位相減得：（1-k）S_n=k+k²+k³+…+kⁿ-n•kⁿ⁺¹，
=$\frac{k（1-{k}^{n}）}{1-k}$-n•kⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{k（1-{k}^{n}）}{（1-k）^{2}}$-$\frac{n}{1-k}$•kⁿ⁺¹；
綜上所述，當(dāng)k=1時(shí)S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，當(dāng)k≠1時(shí)S_n=$\frac{k（1-{k}^{n}）}{（1-k）^{2}}$-$\frac{n}{1-k}$•kⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．