Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $\left?{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}\right?$
• C． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• D． $（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 漸近線方程y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x，當過焦點的兩條直線與兩條漸近線平行時，這兩條直線與雙曲線右支分別只有一個交點，由此能求出此直線的斜率的取值范圍．

解答 解：漸近線方程y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
當過焦點的兩條直線與兩條漸近線平行時，
這兩條直線與雙曲線右支分別只有一個交點
（因為雙曲線正在與漸近線無限接近中），
那么在斜率是[$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$]兩條直線之間的所有直線中，
都與雙曲線右支只有一個交點．
此直線的斜率的取值范圍[$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故選：A．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．