Question

5．設(shè)M是一個非空集合，f是一種運算．如果對于集合M中任意兩個元素p，q，實施運算f的結(jié)果仍是集合中的元素，那么就說集合M對于運算f是“封閉的”．已知集合M={x|x=a+b$\sqrt{2}$，a，b∈Q}．試驗證M對于加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不為0）運算是封閉的．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)x=a+b$\sqrt{2}$，y=m+n$\sqrt{2}$，其中，a，b，m，n∈Q，再直接用定義驗證．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)x=a+b$\sqrt{2}$，y=m+n$\sqrt{2}$，其中，a，b，m，n∈Q，
“加法”：x+y=（a+b$\sqrt{2}$）+（m+n$\sqrt{2}$）=（a+m）+（b+n）$\sqrt{2}$∈M，對加法封閉，
“減法”：x-y=（a+b$\sqrt{2}$）-（m+n$\sqrt{2}$）=a-m+（b-n）$\sqrt{2}$∈M，對減法封閉，
“乘法”：xy=（a+b$\sqrt{2}$）×（m+n$\sqrt{2}$）=（am+2bn）+（an+bm）$\sqrt{2}$∈M，對乘法封閉，
“除法”：$\frac{x}{y}$=$\frac{a+b\sqrt{2}}{m+n\sqrt{2}}$=$\frac{（a+b\sqrt{2}）（m-n\sqrt{2}）}{m^2-2n^2}$=$\frac{am-2bn}{m^2-2n^2}$+$\frac{bm-an}{m^2-2n^2}$•$\sqrt{2}$∈M，對除法封閉．
故集合M對于加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不為0）運算是封閉的．

點評 本題主要考查了集合的化簡與元素與集合的關(guān)系的應用，屬于中檔題．