Question

4．直角三角形ABC的直角頂點為C，且AC=3cm，BC=4cm，P為斜邊AB上一點，PQ平行于AC且交BC于點Q，PM平行于BC且交AC于點M，問點P在邊AB何處時，矩形PQCM的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 先表示出矩形PQCM的面積，再利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)PM=xcm，PQ=ycm，則$\frac{x}{4}=\frac{3-y}{3}$，∴y=3-$\frac{3}{4}$x，
∴矩形PQCM的面積S=xy=x（3-$\frac{3}{4}$x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{3}{4}$x（3-$\frac{3}{4}$x）≤$\frac{4}{3}•\frac{9}{4}$=3，
當且僅當$\frac{3}{4}$x=1-$\frac{3}{4}$x，即x=$\frac{2}{3}$時，矩形PQCM的面積最大，最大面積是4，
此時，AP：AB=1：6．

點評 本題考查比例線段，考查矩形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．