Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-2x，若函數(shù)F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t有四個零點(diǎn)，且它們的和為2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 函數(shù)y=|f（x）|的圖象與函數(shù)y=|f（a-x）|的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a}{2}$對稱，故函數(shù)F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a}{2}$對稱，進(jìn)而可得a值，進(jìn)而將函數(shù)g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|的解析式化為分類函數(shù)的形式，并畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：函數(shù)y=|f（x）|的圖象與函數(shù)y=|f（a-x）|的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a}{2}$對稱，
故函數(shù)F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a}{2}$對稱，
若函數(shù)F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t有四個零點(diǎn)，且它們的和為2，
則a=1，
令g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|=|x²-2x|+|（1-x）²-2（1-x）|=|x²-2x|+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}2{x}^{2}-2x-1，x＜-1\\-2x+1，-1≤x≤0\\-2{x}^{2}+2x+1，0＜x＜1\\ 2x-1，1≤x≤2\\ 2{x}^{2}-2x-1，x＞2\end{array}\right.$，
其圖象如下圖所示：

由圖可得：實(shí)數(shù)t∈（1，$\frac{3}{2}$）時，g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|與y=t有四個交點(diǎn)，
故函數(shù)F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|-t有四個零點(diǎn)，
故答案為：（1，$\frac{3}{2}$）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，函數(shù)圖象，分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．