Question

20．已知△ABC中，∠ACB=45°，B、C為定點(diǎn)且BC=3，A為動(dòng)點(diǎn)，作AD⊥BC于D（異于點(diǎn)B），如圖1所示．連接AB，將△ABD沿AD折起，使平面ABD⊥平面ADC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：AB⊥CD；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積取得最大值時(shí)，求線段AC的長(zhǎng)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別取BC，AC的中點(diǎn)E、M，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求此時(shí)EN與平面BMN所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明CD⊥平面ABD，即可證明AB⊥CD；
（Ⅱ）設(shè)BD=x，先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A-BCD的高，再將三棱錐的體積表示為x的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)，先利用線線垂直的充要條件計(jì)算出N點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定N點(diǎn)位置，再求平面BMN的法向量，從而利用夾角公式即可求得所求線面角

解答 （Ⅰ）證明：∵BD⊥AD，CD⊥AD，平面ABD⊥平面ADC，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥BD，
∵CD⊥AD，AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵AB?平面ABD，
∴AB⊥CD；
（Ⅱ）解：設(shè)BD=x，則CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$×AD×S_△BCD=$\frac{1}{3}$×（3-x）×$\frac{1}{2}$×x（3-x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x）
設(shè)f（x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-3），∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，3）上為減函數(shù)
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值
∴當(dāng)BD=1時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大，此時(shí)AC=2$\sqrt{2}$；
（Ⅲ）解：以D為原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系D-xyz，由（Ⅱ）知，三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），
且$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，1）
設(shè)N（0，λ，0），則$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，λ-1，0）
∵EN⊥BM，∴$\overrightarrow{EN}$•$\overrightarrow{BM}$=0
即（-1，1，1）•（-$\frac{1}{2}$，λ-1，0）=$\frac{1}{2}$+λ-1=0，∴λ=$\frac{1}{2}$，∴N（0，$\frac{1}{2}$，0）
∴當(dāng)DN=$\frac{1}{2}$時(shí)，EN⊥BM
設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，1）及$\overrightarrow{BN}$=（-1，$\frac{1}{2}$，0）
得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{z=-x}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1）
設(shè)EN與平面BMN所成角為θ，則$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|-\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴θ=60°
∴EN與平面BMN所成角的大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面垂直的判定，折疊問題中的不變量，空間線面角的計(jì)算方法，空間向量、空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)用，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題．