Question

14．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}\right.$，若函數g（x）=f[f（x）]-m有且只有一個零點，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）
• B． （-2，-1）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}\right.$及復合函數的單調性知f[f（x）]在[0，+∞）上是增函數，在（-∞，0）上是減函數；從而再由函數零點的判定定理可解得．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f[f（x）]在[0，+∞）上是增函數，
且f（f（0））=2，
f[f（x）]在（-∞，0）上是減函數，
且f（f（x））＞2⁰=1，
故若函數g（x）=f[f（x）]-m有且只有一個零點，
則實數m的取值范圍是（1，2）；
故選：C．

點評 本題考查了復合函數與分段函數的應用，同時考查了函數零點的判定定理的應用，屬于基礎題．