Question

19．如圖是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，M、N是它與x軸的兩個交點，D、C分別為它的最高點和最低點，點F（0，1）是線段MD的中點，$\overrightarrow{MD}$•$\overrightarrow{MN}$=$\frac{{π}^{2}}{18}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由圖象以及函數(shù)f（x）的解析式可以得出M，N，D三點的坐標：$M（-\frac{φ}{ω}，0）$，$N（\frac{π}{ω}-\frac{φ}{ω}，0）$，$D（\frac{π}{2ω}-\frac{φ}{ω}，A）$，而根據(jù)條件MD的中點為F（0，1）及$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{MN}=\frac{{π}^{2}}{18}$即可建立關于A，ω，φ三個參數(shù)的值，從而得出f（x）=$2sin（3x+\frac{π}{4}）$；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可令$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，解出x的范圍即可得出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）根據(jù)f（x）的解析式及圖象可得以下幾點坐標：
$M（-\frac{φ}{ω}，0）$，$N（\frac{π}{ω}-\frac{φ}{ω}，0）$，$D（\frac{π}{2ω}-\frac{φ}{ω}，A）$；
∴$\overrightarrow{MN}=（\frac{π}{ω}，0），\overrightarrow{MD}=（\frac{π}{2ω}，A）$；
∵MD的中點為F（0，1），$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{MN}=\frac{{π}^{2}}{18}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{π}{2ω}-\frac{2φ}{ω}}{2}=0}\\{\frac{A+0}{2}=1}\\{\frac{π}{ω}•\frac{π}{2ω}+0=\frac{{π}^{2}}{18}}\end{array}\right.$；
解得$φ=\frac{π}{4}，A=2，ω=3$；
∴$f（x）=2sin（3x+\frac{π}{4}）$；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z；
∴$-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}$，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}，\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}]$，k∈Z．

點評 考查形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)的周期、最高點，圖象的平移變換，根據(jù)函數(shù)解析式f（x）=Asin（ωx+φ）和圖象可以確定圖象的最高點，以及和x軸交點的坐標，中點坐標公式，以及向量數(shù)量積的坐標運算，以及形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．