Question

17．已知關(guān)于x的方程ax²-2（a+3）x+a+7=0的所有實(shí)根介于-2和2之間（不包括-2和2），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=ax²-2（a+3）x+a+7，則由題意利用一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=ax²-2（a+3）x+a+7，顯然當(dāng)a=0時(shí)，方程即-6x+7=0，求得x=$\frac{7}{6}$，滿足條件．
當(dāng)a≠0時(shí)，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{△=[-2（a+3）]}^{2}-4a（a+7）≥0}\\{a≠0}\\{-2＜\frac{a+3}{a}＜2}\\{f（-2）•f（2）=（9a+19）（a-5）＞0}\end{array}\right.$，
求得a＜-$\frac{19}{9}$或 5＜a≤9．
綜上，a的取值范圍為a＜-$\frac{19}{9}$或 5＜a≤9或a=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．