Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2．
（Ⅰ）求三棱錐P-ACD的外接球的體積；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A與二面角A-PC-D的正弦值之比．

Answer 1

分析 （I）連接AC，通過已知條件及勾股定理可得AC⊥CD，進而可得三棱錐P-ACD外接球的球心為PD中點E，利用球的體積公式計算即可；
（II）以點A為坐標原點，$\overrightarrow{AB}，\;\;\overrightarrow{AD}，\;\overrightarrow{AP}$分別為x、y、z軸正方向建立坐標系，二面角B-PC-A的余弦值即為平面PBC的法向量與平面PAC的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值，通過CD⊥平面PAC可得二面角A-PC-D為直二面角，計算即可．

解答 解：（I）連接AC，
∵∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2，
∴CD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，∴AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∴CD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴∠PCD=90°，
而∠PAD=90°，從而三棱錐P-ACD外接球的球心為PD中點E，
∵直徑$PD=\sqrt{{1^2}+{2^2}}=\sqrt{5}$，
∴三棱錐P-ACD外接球的體積$V=\frac{4}{3}$$π{（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）^3}=\frac{5}{6}\sqrt{5}π$；
（II）建立坐標系，以點A為坐標原點，$\overrightarrow{AB}，\;\;\overrightarrow{AD}，\;\overrightarrow{AP}$分別為x、y、z軸正方向，
則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
∴$\overrightarrow{BC}=（{0，\;\;1，\;\;0}），\;\;\overrightarrow{PB}=（{1，\;\;0，\;\;-1}）$．
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x-z=0\end{array}\right.$，
∴可取$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
由（I）知CD⊥平面PAC，
故平面PAC的一個法向量為$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
所以$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CD}＞$=$\frac{（1，0，1）•（-1，1，0）}{\sqrt{1+1}•\sqrt{1+1}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴二面角B-PC-A的大小為$\frac{π}{3}$，其正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由CD⊥平面PAC，得平面PCD⊥平面PAC，
∴二面角A-PC-D為直二面角，其正弦值為1，
綜上，二面角B-PC-A與二面角A-PC-D的正弦值之比為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的計算，勾股定理，球的體積的計算，考查空間想象能力，計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．