Question

9．在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=x+2與x軸，y軸分別交于M、N兩點，點P在圓（x-a）²+y²=2上運動，若∠MPN恒為銳角，則a的取值范圍是a＞$\sqrt{7}-1$或a＜-$\sqrt{7}-1$．

Answer 1

分析 設以MN為直徑的圓的圓心為A，得到MN的中點A（-1，1）；點P與M，N構成∠MPN恒為銳角，則點P恒在圓A之外，又兩個圓半徑相等，只要兩圓外離，得到圓心距與半徑的關系等式求得a．

解答 解：設以MN為直徑的圓的圓心為A，則M（-2，0），N（0，2），所以中點A（-1，1）；
點P與M，N構成∠MPN恒為銳角，則點P恒在圓A之外，又兩個圓半徑相等，所以兩圓外離，
所以（a+1）²+1²＞（2$\sqrt{2}$）²，解得a＞$\sqrt{7}-1$或a＜-$\sqrt{7}-1$；
所以a的取值范圍是a＞$\sqrt{7}-1$或a＜-$\sqrt{7}-1$；
故答案為：a＞$\sqrt{7}-1$或a＜-$\sqrt{7}-1$．

點評 本題考查了直線與圓和圓與圓的位置關系；解得本題的關鍵是∠MPN恒為銳角的等價條件．