Question

13．已知{a_n}是正項數列，a₁=1，且點（$\sqrt{a_n}$，a_n+1）在函數y=x²+1的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1=a₁+1，從而數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由已知b_n+1-b_n=2n，利用累加法求出b_n=n²-n+1．由此能求出數列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵{a_n}是正項數列，a₁=1，且點（$\sqrt{a_n}$，a_n+1）在函數y=x²+1的圖象上，
∴a_n+1=a₁+1，
∴數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2a_n=b_n+2n，
∴b_n+1-b_n=2n，
∴b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+b₄-b₃+…+b_n-b_n-1
=1+2+4+6+…+2（n-1）
=1+$\frac{n-1}{2}（2+2n-2）$
=n²-n+1．
∴數列{b_n}的前n項和：
S_n=（1²+2²+3²+…+n²）-（1+2+3+…+n）+n
=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-$\frac{n（n+1）}{2}$+n．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．