Question

4．如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點．
（1）求證：DE∥平面ACF；
（2）若AB=$\sqrt{2}$CE，在線段EO上是否存在點G，使得CG⊥平面BDE？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質以及中線性質任意得到OF∥DE，利用線面平行的判定定理可證；
（2）取EO的中點G，連接CG，可證CG⊥EO，由EC⊥BD，AC⊥BD，可得平面ACE⊥平面BDE，從而利用面面垂直的性質即可證明CG⊥平面BDE．

解答 （本題滿分為14分）證明：（1）連接OF由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD的中點，又F為BE的中點，
所以OF∥DE．…（2分）
又OF?平面ACF，DE?平面ACF，
所以DE∥平面ACF．…（6分）
（2）在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE，
證明如下：取EO的中點G，連接CG，在四棱錐E-ABCD中，AB=$\sqrt{2}$CE，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=CE，
所以CG⊥EO．…（8分）
又由EC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
所以EC⊥BD．…（10分）
由四邊形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，
所以BD⊥平面ACE，而BD?平面BDE，…（12分）
所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，
因為CG⊥EO，CG?平面ACE，
所以CG⊥平面BDE．…（14分）

點評 本題主要考查了線面平行的判定定理以及線面垂直的判定定理和性質定理的運用，考查了空間想象能力和推理論證能力，關鍵是熟練掌握相關定理的條件及結論，屬于中檔題．