Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量$\overrightarrow{OA}$=（0，3），向量$\overrightarrow{OB}$=（4，3），若已知向量$\overrightarrow{OC}$=λ$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$+$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$（λ∈R，λ＞0），則|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{5}$，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$，$\frac{\sqrt{109}}{5}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)，求出$|\overrightarrow{OA}|=3，|\overrightarrow{OB}|=5$，從而得到$\overrightarrow{OC}=（\frac{4}{5}，λ+\frac{3}{5}）$，根據(jù)向量長(zhǎng)度$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$，即可得到$5=（\frac{4}{5}）^{2}+（λ+\frac{3}{5}）^{2}$，解該方程，并取λ＞0解，這樣即可得出$\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：根據(jù)條件，$|\overrightarrow{OA}|=3，|\overrightarrow{OB}|=5$；
∴$\overrightarrow{OC}=\frac{λ}{3}•（0，3）+\frac{1}{5}•（4，3）=（\frac{4}{5}，λ+\frac{3}{5}）$；
又$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$；
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}=\frac{16}{25}+{λ}^{2}+\frac{6}{5}λ+\frac{9}{25}=5$；
解得$λ=\frac{-3±\sqrt{109}}{5}$；
∵λ＞0；
∴$λ=\frac{-3+\sqrt{109}}{5}$；
∴$\overrightarrow{OC}=（\frac{4}{5}，\frac{\sqrt{109}}{5}）$；
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}，\frac{\sqrt{109}}{5}$）．
故答案為：（$\frac{4}{5}$，$\frac{\sqrt{109}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度，向量坐標(biāo)的數(shù)乘即加法運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及解一元二次方程，清楚向量坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系．