Question

8．如圖所示，等腰梯形ABCD的底邊AB在x軸上，頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且底邊AB和CD的長(zhǎng)分別為6和2$\sqrt{6}$，高為3．
（Ⅰ）求等腰梯形ABCD的外接圓E的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，2），點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動(dòng)，
求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性判斷出E在y軸上，設(shè)其坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立等式求得E的坐標(biāo)和半徑，則圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出M的坐標(biāo)代入圓E的方程，進(jìn)而求得P的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：A（-3，0），B（3，0），D（-$\sqrt{6}$，3），C（$\sqrt{6}$，3），
根據(jù)對(duì)稱性可知，圓心E在y軸上，
設(shè)E的坐標(biāo)為（0，n），
則有9+（n-3）²=6+n²，求得n=2，
∴圓E的圓心為（0，2），半徑為$\sqrt{6+4}$=$\sqrt{10}$，
∴圓的方程為：x²+（y-2）²=10．
（Ⅱ）設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），
∵P為線段MN的中點(diǎn)，
∴$\frac{5+{x}_{M}}{2}$=x，x_M=2x-5，
$\frac{2+{y}_{M}}{2}$=y，y_M=2y-2，
代入點(diǎn)M所在圓的方程得：（2x-5）²+（2y-4）²=10，
整理得（x-$\frac{5}{2}$）²+（x-2）²=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為（x-$\frac{5}{2}$）²+（x-2）²=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．求圓的方程，一般是確定圓心和半徑．解決軌跡方程的問(wèn)題的步驟先設(shè)點(diǎn)，求得變量x和y的關(guān)系即可．